Question

13．如图，直三棱柱ABC-DEF中，M是AB的中点．
（1）证明：BF∥平面CDM；
（2）设$AD=AC=CB=2，AB=2\sqrt{2}$，求异面直线BF与DM所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）连接AF，交于CD与G，连接MG，则G 为AF中点，只要判定MG∥BF利用线面平行的判定定理可证；
（2）过G 作GH∥DM交MC与H，则H为MC的中点，所以∠MGH为异面直线BF与DM所成角，借助于余弦定理求大小．

解答 （1）证明：连接AF，交于CD与G，连接MG，则G 为AF中点，又M为AB中点，所以MG∥BF，
MG?平面CDM，BF?平面CDM，
所以BF∥平面CDM；
（2）解：因为$AD=AC=CB=2，AB=2\sqrt{2}$，所以∠ACB为直角，MC=$\sqrt{2}$，过G 作GH∥DM交MC与H，则H为MC的中点，所以∠MGH为异面直线BF与DM所成角，
在△MGH中，MG=$\frac{1}{2}$BF=$\sqrt{2}$，MH=$\frac{1}{2}$MC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，GH=$\frac{1}{2}DM$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
由余弦定理得到异面直线BF与DM所成角的余弦值为$\frac{2+\frac{6}{4}-\frac{1}{2}}{2×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以异面直线BF与DM所成角的为30°．

点评 本题考查了线面平行的判定定理和空间异面直线所成的角求法；关键是正确转化线线关系和平面角解答．