Question

3．设函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$+a（其中ω＞0，a∈R），f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是$\frac{π}{6}$．且f（x）过点（$\frac{5π}{6}$，$\sqrt{3}$）．
（1）求ω和a的值；
（2）设g（x）=f（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$，求g（x）的零点．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是$\frac{π}{6}$求出ω的值；
再根据f（x）过点（$\frac{5π}{6}$，$\sqrt{3}$）求出a的值；
（2）写出函数g（x）的解析式，令g（x）=0求出方程的解集即可得出函数的零点．

解答 解：（1）根据函数f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是$\frac{π}{6}$，
得ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，解得ω=1；
又f（x）过点（$\frac{5π}{6}$，$\sqrt{3}$），
∴sin（$\frac{5π}{6}$+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a=$\sqrt{3}$，
解得a=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$；
（2）由（1）得函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$，
∴g（x）=f（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$=sin（2x+$\frac{2π}{3}$）+$\frac{1}{2}$；
令g（x）=0，
即sin（2x+$\frac{2π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
解得2x+$\frac{2π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z或2x+$\frac{2π}{3}$=2kπ+$\frac{7π}{6}$，k∈Z；
即x=kπ-$\frac{5π}{12}$，k∈Z或x=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z；
∴g（x）的零点为x=kπ-$\frac{5π}{12}$，k∈Z或x=$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，以及函数零点的计算问题，是综合性题目．