Question

11．已知直线l₁：4x-3y+6=0和直线l₂：x=-1，抛物线y²=4x上有一个动点P，求点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值．

Answer 1

分析 x=-1是抛物线y²=4x的准线，则P到x=-1的距离等于PF，抛物线y²=4x的焦点F（1，0）过P作4x-3y+6=0垂线，和抛物线的交点就是P，所以点P到直线l₁：4x-3y+6=0的距离和到直线l₂：x=-1的距离之和的最小值就是F（1，0）到直线4x-3y+6=0距离．

解答 解：∵x=-1是抛物线y²=4x的准线，
∴P到x=-1的距离等于PF，
∵抛物线y²=4x的焦点F（1，0）
∴过P作4x-3y+6=0垂线，和抛物线的交点就是P，
∴点P到直线l₁：4x-3y+6=0的距离和到直线l₂：x=-1的距离之和的最小值
就是F（1，0）到直线4x-3y+6=0距离，
∴最小值d_min=$\frac{|4-0+6|}{\sqrt{16+9}}$=2．

点评 本题考查抛物线性质的应用，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线的性质，注意等价转化思想的合理运用．