Question

9．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，经过点A（1，$\frac{3}{2}$）作两条关于直线x=1对称的直线分别交椭圆于B，C两点，则直线BC的斜率k_BC为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 不能确定

Answer 1

分析 设直线AB的斜率为k，则直线AC的斜率为-k，则直线AB，AC的方程分别为：y-$\frac{3}{2}$=k（x-1），y-$\frac{3}{2}$=-k（x-1），分别与椭圆方程联立，利用点A在椭圆上，利用一元二次方程的根与系数的关系，可得x_B，y_B，x_C，y_C．利用斜率计算公式可得直线BC的斜率k_BC．

解答 解：设直线AB的斜率为k，则直线AC的斜率为-k，
则直线AB，AC的方程分别为：y-$\frac{3}{2}$=k（x-1），y-$\frac{3}{2}$=-k（x-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y-\frac{3}{2}=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（3+4k²）x²+（12k-8k²）x+4k²-12k-3=0，
∵点A在椭圆上，∴x_B×1=$\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$，即x_B=$\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$，y_B=$\frac{-12{k}^{2}-12k+9}{2（3+4{k}^{2}）}$．
同理可得：x_C=$\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}$，y_C=$\frac{-12{k}^{2}+12k+9}{2（3+4{k}^{2}）}$．
∴直线BC的斜率k_BC=$\frac{{y}_{B}-{y}_{C}}{{x}_{B}-{x}_{C}}$=$\frac{-12k}{-24k}$=$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、对称的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．