Question

14．函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²的导函数f′（x），那么数列{$\frac{1}{f′（n）}$}，n∈N^*的前n项和是$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 f′（x）=x²+x，可得$\frac{1}{f′（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：f′（x）=x²+x，
∴$\frac{1}{f′（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴数列{$\frac{1}{f′（n）}$}，n∈N^*的前n项和
S=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
故答案为：$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了导数的运算法则、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．