Question

19．若函数f（x）=log_ax（a＞0，a≠1）在$[\frac{1}{2}，16]$上的最大值为4，最小值为m，且函数$g（x）=（2+m）\sqrt{x}$ 在（0，+∞）上是增函数，则a=2．

Answer 1

分析 根据对数函数的性质，对底数a进行讨论，在$[\frac{1}{2}，16]$上的最大值为4，最小值为m，解出m的值，在根据$g（x）=（2+m）\sqrt{x}$ 在（0，+∞）上是增函数，确定m的值．

解答 解：函数f（x）=log_ax（a＞0，a≠1）在$[\frac{1}{2}，16]$上的最大值为4，最小值为m．
当0＜a＜1时，则有：$\left\{\begin{array}{l}{m=lo{g}_{a}16}\\{4=lo{g}_{a}\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得：a=${2}^{-\frac{1}{4}}$，m=-16．
当a＞1时，则有：$\left\{\begin{array}{l}{4=lo{g}_{a}16}\\{m=lo{g}_{a}\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得：a=2，m=-1
又∵$g（x）=（2+m）\sqrt{x}$ 在（0，+∞）上是增函数，
∴2+m＞0，∴m＞-2．
所以满足题意时，a=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了对数函数的性质的运用，当底数大小无法确定时，需要对其进行讨论．属于中档题．