Question

8．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$中，椭圆长轴长是短轴长的$\sqrt{3}$倍，短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为$\frac{{5\sqrt{2}}}{3}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A，B两点，
①若线段AB的中点的横坐标为$-\frac{1}{2}$，求斜率k的值；
②已知点$M（-\frac{7}{3}，0）$，求证：$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意得$\sqrt{3}b=a$，根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为$\frac{{5\sqrt{2}}}{3}$，可得$\frac{1}{2}×b×2c=\frac{{5\sqrt{2}}}{3}$，再结合隐含条件求得a²，b²的值，则椭圆方程可求；
（2）①联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系可得线段AB的中点的横坐标，由线段AB的中点的横坐标为$-\frac{1}{2}$列式求得k值；②由（2）①中根与系数的关系及平面向量的坐标运算求得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$为定值$\frac{4}{9}$．

解答 （1）解：∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$满足a²=b²+c²，$\sqrt{3}b=a$，
根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为$\frac{{5\sqrt{2}}}{3}$，
可得$\frac{1}{2}×b×2c=\frac{{5\sqrt{2}}}{3}$．
从而可解得${a^2}=5，\;\;{b^2}=\frac{5}{3}$，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{{\frac{5}{3}}}=1$；
（2）①解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将y=k（x+1）代入$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{{\frac{5}{3}}}=1$中，
消元得（1+3k²）x²+6k²x+3k²-5=0，
△=36k⁴-4（3k²+1）（3k²-5）=48k²+20＞0，
${x_1}+{x_2}=-\frac{{6{k^2}}}{{3{k^2}+1}}$，
∵AB中点的横坐标为$-\frac{1}{2}$，∴$-\frac{{3{k^2}}}{{3{k^2}+1}}=-\frac{1}{2}$，解得$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
②证明：由①知${x_1}+{x_2}=-\frac{{6{k^2}}}{{3{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{3{k^2}-5}}{{3{k^2}+1}}$，
∴$\overrightarrow{MA}\;•\;\overrightarrow{MB}=（{{x_1}+\frac{7}{3}，\;\;{y_1}}）\;•\;（{{x_2}+\frac{7}{3}，\;\;{y_2}}）=（{{x_1}+\frac{7}{3}}）\;•\;（{{x_2}+\frac{7}{3}}）+{y_1}{y_2}$
=$（{{x_1}+\frac{7}{3}}）\;•\;（{{x_2}+\frac{7}{3}}）+{k^2}（{x_1}+1）（{x_2}+1）$=$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+（{\frac{7}{3}+{k^2}}）（{x_1}+{x_2}）+\frac{49}{9}+{k^2}$
=$（1+{k^2}）\frac{{3{k^2}-5}}{{3{k^2}+1}}+（{\frac{7}{3}+{k^2}}）（{-\frac{{6{k^2}}}{{3{k^2}+1}}}）+\frac{49}{9}+{k^2}$=$\frac{{-3{k^4}-16{k^2}-5}}{{3{k^2}+1}}+\frac{49}{9}+{k^2}=\frac{4}{9}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查平面向量的数量积运算，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．