Question

13．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，G是△ABC的三条边上中线的交点，若$\overrightarrow{GA}+（a+b）\overrightarrow{GB}+2c\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow 0$，且$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$≥cos2x-msinx（x∈R）恒成立，则实数m的取值范围为[-4-2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由题意知G是△ABC的重心，$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，代入$\overrightarrow{GA}$+（a+b）$\overrightarrow{GB}$+2c$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$求出a、b、c的关系；
由$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$≥cos2x-msinx恒成立，得出${（\frac{1}{a}+\frac{2}{b}）}_{min}$≥（cos2x-msinx）_max，
利用基本不等式求出$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值，构造函数g（x）=cos2x-msinx（x∈R），
用换元法和分类讨论思想求出g（x）的最小值，再列出不等式求出m的取值范围．

解答 解：由题意知，G是△ABC的重心，
则$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，即$\overrightarrow{GC}$=-（$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$），
代入$\overrightarrow{GA}$+（a+b）$\overrightarrow{GB}$+2c$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，得：
（1-2c）$\overrightarrow{GA}$+（a+b-2c）$\overrightarrow{GB}$=$\overrightarrow{0}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2c}\\{c=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{c=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
又$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$≥cos2x-msinx恒成立，
即${（\frac{1}{a}+\frac{2}{b}）}_{min}$≥（cos2x-msinx）_max，
且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）•1=（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）•（a+b）
=3+（$\frac{b}{a}$+$\frac{2a}{b}$）≥3+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{2a}{b}}$=3+2$\sqrt{2}$，
当且仅当时“=”成立；
令g（x）=cos2x-msinx（x∈R），则
g（x）=-2sin²x-msinx+1，设t=sinx，t∈[-1，1]；
则g（t）=-2t²-mt+1，对称轴是t=-$\frac{m}{4}$；
①若-$\frac{m}{4}$＜-1，即m＞4，
则g（t）_max=g（-1）=-1+m，令3+2$\sqrt{2}$≥-1+m，
解得m≤4+2$\sqrt{2}$，即4＜m≤4+2$\sqrt{2}$；
②若-$\frac{m}{4}$＞1，即m＜-4，
则g（t）_max=g（1）=-1-m，令3+2$\sqrt{2}$≥-1-m，
解得-4-2$\sqrt{2}$≤m＜-4；
③若-1≤-$\frac{m}{4}$≤1，即-4≤m≤4，
则g（t）_max=g（-$\frac{m}{4}$）=1+$\frac{{m}^{2}}{8}$，
由3+2$\sqrt{2}$≥1+$\frac{{m}^{2}}{8}$解得-4$\sqrt{1+\sqrt{2}}$≤m≤4$\sqrt{1+\sqrt{2}}$，
故-4≤m≤4；
综上，实数m的取值范围是[-4-2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$]．
故答案为：[-4-2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了三角函数、平面向量以及函数的综合应用问题，也考查了综合处理数学问题的能力．