Question

3．函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向左平移$φ（0＜φ＜\frac{π}{2}）$个单位后，得到的函数g（x）为偶函数，则（　　）

• A． g（x）的图象关于直线$x=\frac{π}{2}$对称
• B． g（x）的图象关于点（π，0）对称
• C． g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上递增
• D． g（x）在[0，π]上递减

Answer 1

分析 把函数式f（x）=sin2x+cos2x化积为f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），然后利用三角函数的图象平移得到y=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$+2φ），结合该函数为偶函数求得φ的最小正值，可求g（x）的解析式，利用余弦函数的图象和性质即可判断得解．

解答 解：∵由f（x）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
把该函数的图象左移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为：g（x）=$\sqrt{2}$sin[2（x+φ）+$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$+2φ）．
又∵偶函数图象关于y轴对称，则$\frac{π}{4}$+2φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
∴则φ=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z．
∵0＜φ$＜\frac{π}{2}$，
∴当k=0时，φ的值是$\frac{π}{8}$，可得：g（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{2}$cos2x．
∴当$x=\frac{π}{2}$时，g（x）_min=-$\sqrt{2}$，g（x）的图象关于直线$x=\frac{π}{2}$对称，A正确；
当x=π时，g（π）=$\sqrt{2}$，B错误；
由g（x）=$\sqrt{2}$cos2x在$[0，\frac{π}{2}]$上递减，[$\frac{π}{2}$，π]上单调递增，故C、D错误；
故选：A．

点评 本题考查了三角函数的图象平移，考查了余弦函数的图象和性质，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．