Question

15．将二项式${（{\sqrt{x}+\frac{1}{{2\root{3}{x}}}}）^n}$的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的指数是整数的项共有（　　）

• A． 3个
• B． 4个
• C． 5个
• D． 6个

Answer 1

分析 写出展开式的通项，利用前三项系数成等差数列，求出n，进而可求展开式中x的指数是整数的项的个数．

解答 解：展开式的通项为T_r+1=${C}_{n}^{r}$×（$\frac{1}{2}$）^r×x${\;}^{\frac{2n-3r}{3}}$（r=0，1，2，…，n），
∴前三项的系数分别是1，$\frac{1}{2}$n，$\frac{1}{8}$n（n-1），
∵前三项系数成等差数列
∴2•$\frac{1}{2}$n=1+$\frac{1}{8}$n（n-1）
∴n=8，
∴当n=8时，T_r+1=${C}_{n}^{r}$×（$\frac{1}{2}$）^r×x${\;}^{\frac{2n-3r}{3}}$（r=0，1，2，…，n），
∴r=0，4，8，展开式中x的指数是整数
故选：A．

点评 本题考查二项展开式，考查等差数列的运用，考查展开式的特殊项，确定n是关键．