Question

9．抛物线y²=4x的准线方程为x=-1，经过此抛物线的焦点和点M（3，1），且与准线相切的圆共有2个．

Answer 1

分析 根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线的方程，设出所求圆的圆心，表示出半径，则圆的方程可得，把M，F点的坐标代入整理求得b²+2b-9=0，即可得出结论．

解答 解：抛物线y²=4x的焦参数p=2，所以F（1，0），准线l：x=-1，即x+1=0，
设经过点M（3，1）、F（1，0），且与直线l相切的圆的圆心为Q（a，b），
则半径为Q到l的距离为即1+a，
∴所以圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=（1+a）²；
将M、F的坐标代入，（3-a）²+（1-b）²=（1+a）²①，
（1-a）²+b²=（1+a）²②，
由①②得：4a+2b-9=0，③
b²=4a，④
由③④得：b²+2b-9=0，
解得△＞0．
故圆的个数为2个．
故答案为：x=-1，2．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质和圆的标准方程．考查了运用待定系数法求圆的方程以及圆与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，属于中档题．