Question

16．已知命题p：在x∈[1，2]时，不等式x²+ax-2＞0恒成立；命题q：函数$f（x）={log_{\frac{1}{3}}}（{x^2}-2ax+3a）$是区间[1，+∞）上的减函数．若命题“p或q”是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 求出两个命题是真命题时的a的范围，然后求解实数a的范围．

解答 解：∵x∈[1，2]时，不等式x²+ax-2＞0恒成立，
∴a＞$\frac{{2-{x^2}}}{x}$=$\frac{2}{x}$-x在x∈[1，2]上恒成立，
令g（x）=$\frac{2}{x}$-x，则g（x）在[1，2]上是减函数，
∴g（x）_max=g（1）=1，
∴a＞1．即若命题p真，则a＞1．
又∵函数f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{3}}$（x²-2ax+3a）是区间[1，+∞）上的减函数，
∴u（x）=x²-2ax+3a是[1，+∞）上的增函数，且u（x）=x²-2ax+3a＞0在[1，+∞）上恒成立，
∴a≤1，u（1）＞0，∴-1＜a≤1，
即若命题q真，则-1＜a≤1．
综上知，若命题“p或q”是真命题，则a＞-1．

点评 本题考查命题的判断与应用，复合命题的真假的判断，考查计算能力．