Question

命题p：关于x的方程x²-x+a=0有实数根；命题q：对任意的实数x都有x²+ax+a＞0恒成立； 如果p且q为假，p或q为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：根据一元二次方程解的情况和判别式△的关系，一元二次不等式的解为R时判别式△的取值情况求出命题p，q下a的取值范围，然后根据p且q为假，p或q为真得到p真q假，或p假q真，求出这两种情况下a的取值范围再求并集即可．

解答： 解：关于x的方程x²-x+a=0有实数根；
∴△=1-4a≥0，∴a≤

1

4

；
∴p：a≤

1

4

；
对任意的实数x都有x²+ax+a＞0恒成立；
∴△=a²-4a＜0，解得0＜a＜4；
∴q：0＜a＜4；
如果p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假；
∴

a≤ 1 4 a≤0，或a≥4

，或∴

a＞ 1 4 0＜a＜4

；
∴a≤0，或

1

4

＜a＜4；
∴实数a的取值范围为（-∞，0]∪(

1

4

，4)．

点评：考查一元二次方程有解时判别式的取值情况，一元二次不等式解为R时判别式△的取值情况，以及p且q，p或q的真假和p，q真假的关系．