Question

设f（x）=2x-

3

x

（1）指出函数的定义域，证明f（x）为奇函数；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并用定义证明；
（3）试比较f（π）与f（log₂7）的大小关系．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，f（x）=2x-

3

x

的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）；再证明f（-x）=-f（x）即可；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数，用定义法证明单调性一般可以分为五步，取值，作差，化简变形，判号，下结论；
（3）利用函数的单调性判断即可．

解答： 解：（1）f（x）=2x-

3

x

的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）；
又∵f（-x）=2（-x）-

3

-x

=-（2x-

3

x

）=-f（x）；
∴f（x）为奇函数；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数，证明如下，
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）
=2x₁-

3

x1

-（2x₂-

3

x2

）
=（x₁-x₂）（2+

3

x1x2

）；
∵0＜x₁＜x₂，
∴（x₁-x₂）（2+

3

x1x2

）＜0；
故f（x₁）＜f（x₂）；
故f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）∵0＜log₂7＜3＜π；
∴f（π）＞f（log₂7）．

点评：本题考查了函数的性质应用，属于基础题．