Question

1．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦点是F₁、F₂，P是椭圆上一点，若|PF₁|=2|PF₂|，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）

• A． $（0，\frac{1}{2}）$
• B． $（\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$
• C． $[{\frac{1}{3}，1}）$
• D． $[{\frac{1}{2}，1}）$

Answer 1

分析 由题意可知：设点P（x，y），由|PF₁|=2|PF₂|，则由椭圆的定义可得 e（x+$\frac{{a}^{2}}{c}$）=2•e（$\frac{{a}^{2}}{c}$-x），求得x=$\frac{a}{3e}$，根据椭圆的范围可知：-a≤$\frac{a}{3e}$≤a，即可求得椭圆的离心率的取值范围．

解答 解：由椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦点在x轴，设点P（x，y），
∵|PF₁|=2|PF₂|，则由椭圆的定义可得 e（x+$\frac{{a}^{2}}{c}$）=2•e（$\frac{{a}^{2}}{c}$-x），
∴x=$\frac{a}{3e}$，由题意可得：-a≤$\frac{a}{3e}$≤a，
∴$\frac{1}{3}$≤e＜1，则该椭圆的离心率e的取值范围是[$\frac{1}{3}$，1），
故选C．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的焦点弦公式，椭圆的范围，考查计算能力，属于中档题．