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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    为贯彻“激情工作，快乐数学”的理念，某学校在学习之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为
    2
    3
    ．
    （1）求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；
    （2）设选手甲在初赛中答题的个数ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
    考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差
    专题：概率与统计
    分析：（1）选手甲答3道题进入决赛的概率为(
    2
    3
    )3=
    8
    27
    ，选手甲答4道题进入决赛的概率为 
    C
    2
    3
    (
    2
    3
    )2•
    1
    3
    •
    2
    3
    =
    8
    27
    ，由此能求出选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率．
    （2）依题意，ξ的可能取值为3，4，5．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和ξ的数学期望．
    解答： 解：（1）选手甲答3道题进入决赛的概率为(
    2
    3
    )3=
    8
    27
    ，
    选手甲答4道题进入决赛的概率为 
    C
    2
    3
    (
    2
    3
    )2•
    1
    3
    •
    2
    3
    =
    8
    27
    ，
    ∴选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率P=
    8
    27
    +
    8
    27
    =
    16
    27
    ．（4分）
    （2）依题意，ξ的可能取值为3，4，5．
    则有P(ξ=3)=(
    2
    3
    )3+(
    1
    3
    )3=
    1
    3
    ，
    P(ξ=4)=
    C
    2
    3
    (
    2
    3
    )2•
    1
    3
    •
    2
    3
    +
    C
    2
    3
    (
    1
    3
    )2•
    2
    3
    •
    1
    3
    =
    10
    27
    ，
    P(ξ=5)=
    C
    2
    4
    (
    2
    3
    )2•(
    1
    3
    )2•
    2
    3
    +
    C
    2
    4
    (
    1
    3
    )2•(
    2
    3
    )2•
    1
    3
    =
    8
    27
    ，
    ξ345
    P
    1
    3
    10
    27
    8
    27
    ∴Eξ=3×
    1
    3
    +4×
    10
    27
    +5×
    8
    27
    =
    107
    27
    ．（8分）
    点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
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    已知函数f（x）的定义域为[0，2]，则
    f(2x)
    x
    的定义域为（　　）
    A、{x|0＜x≤4}
    B、{x|0≤x≤4}
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    a
    3
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    1
    2
    的值．
    （2）计算：tan
    π
    4
    -cos4
    π
    2
    +2sin3π-sin2
    π
    3
    ．

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    高杆矮杆合计
    圆粒111930
    皱粒13720
    合计242650
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    P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001
    k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
    K2=
    n(ad-bc)2
    (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
    ，其中n=a+b+c+d．

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    （1）已知
    x
    =2
    b
    -3
    a
    ，
    y
    =2
    a
    +
    b
    ，|
    a
    |=|
    b
    |=1，
    a
    与
    b
    的夹角为60°，求
    x
    与
    y
    的夹角．
    （2）已知
    a
    =（3，4），
    AB
    与
    a
    平行，且|
    AB
    |=10，点A的坐标为（-1，3），求点B的坐标．

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    1
    2
    1-ax
    x-1
    为奇函数，则a=
     
    ．

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