Question

已知圆M：（x-2）²+y²=1，Q是直线y=x上的动点，QA、QB与圆M相切，切点分别为点A、B．
（1）若点Q的坐标为（0，0），求切线QA、QB的方程；
（2）若点Q的坐标为（t，t），t∈R，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）由题意知当点Q的坐标为（0，0）时，设切线方程为y=kx，圆心到切线的距离d=

|2k|

1+k2

=1，由此能求出切线QA、QB的方程．
（2）设切线QA、QB的切点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由QA⊥MA，知切线QA的斜率kQA=-

x1-2

y1

，y₁≠0，由此能求出切线QA的方程为yy1+(x1-2)x=y12+(x1-2)x1，由此入手能求出直线AB的方程．

解答： 解：（1）由题意可知当点Q的坐标为（0，0）时，
切线的斜率存在，可设切线方程为y=kx．…（1分）
则圆心到切线的距离d=

|2k|

1+k2

=1，
即4k²=1+k²，k=±

3

3

，…（3分）
∴切线QA、QB的方程为y=±

3

3

x．…（5分）
（2）设切线QA、QB的切点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵QA⊥MA，则切线QA的斜率为kQA=-

x1-2

y1

，y₁≠0，…（6分）
则切线QA的方程为y-y₁=-

x1-2

y1

(x-x1)．…（7分）
化简为yy1-y12=-(x1-2)x+(x1-2)x1，
即yy1+(x1-2)x=y12+(x1-2)x1，
∵点A（x₁，y₁）在圆M：（x-2）²+y²=1上，
得yy₁+（x₁-2）x-2x₁=-3，…（8分）
又∵Q（t，t）在切线QA上，∴ty₁+（t-2）x₁=2t-3，①…（9分）
同理得ty₂+（t-2）x₂=2t-3，②…（10分）
由①②可知直线（t-2）x+ty=2t-3过点A，B，
∴直线AB的方程为（t-2）x+ty=2t-3，…（12分）
特别当y₁=0时，x₁=1或x₁=3，
当x₁=1时，切线QA的方程为x=1，解得t=1，得切点B（2，1），
此时AB的方程为x-y=1上式也成立，
当x₁=3时，得t=3，经检验方程也成立，
综上所述，直线AB的方程为（t-2）x+ty=2t-3．…（14分）

点评：本题考查圆的切线方程和直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．