Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，PA=AC=2，BC=1．
（Ⅰ）求证：AH⊥平面PBC；
（Ⅱ）求经过点P-ABC的球的表面积．

Answer 1

考点：球的体积和表面积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）要证AH⊥面PBC，只要证AH垂直于面PBC内的两条相交直线即可，由已知易证AH⊥PC，再由已知结合线面垂直的判断证得BC⊥面PAC，则BC⊥AH，然后由线面垂直的判断得结论；
（Ⅱ）由题意，取BC的中点O，则O是球心，求出经过点P-ABC的球的半径，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABC，BC?底面ABC，
∴PA⊥BC，
又AC⊥BC，PA∩AC=A，
∴BC⊥面PAC，
又AH?面PAC，
∴AH⊥BC，
∵H为PC的中点，且PA=AC，
∴AH⊥PC，
又PC∩BC=C，
∴AH⊥面PBC；
（Ⅱ）解：由题意，取BC的中点O，则O是球心，PB=3，
∴经过点P-ABC的球的半径为

3

2

∴S=4π×

9

4

=9π．

点评：本题考查了直线与平面平行的性质，考查了直线与平面垂直的判定，考查了学生的空间想象能力和思维能力，属于中档题．