Question

已知函数f（x）=1-

2

3x+1

（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）证明：函数f（x）在区间（-∞，+∞）上是单调增函数；
（3）解不等式f（2x）+f（x-1）＜0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用奇函数的定义即可判断出；
（2）利用单调函数的定义即可证明；
（3）利用函数的奇偶性和单调性即可解出．

解答： （1）解：由函数f（x）=1-

2

3x+1

，可得定义域为R．
∵f（-x）=1-

2

3-x+1

=1-

2•3x

1+3x

=

1-3x

1+3x

=

2-(1+3x)

1+3x

=

2

1+3x

-1=-(1-

2

1+3x

)=-f（x）．
∴函数f（x）是奇函数．
（2）证明：?x₁＜x₂，则0＜3x1＜3x2．
则f（x₁）-f（x₂）=1-

2

3x1+1

-(1-

2

3x2+1

)=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）在区间（-∞，+∞）上是单调增函数．
（3）解：由f（2x）+f（x-1）＜0，化为f（2x）＜-f（x-1）=f（1-x），
由（2）可知：函数f（x）在区间（-∞，+∞）上是单调增函数．
∴2x＜1-x，
∴x＜

1

3

．
∴f（2x）+f（x-1）＜0的解集为：{x|x＜

1

3

}．

点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题．