Question

（1）设函数f（x）=

sinx+a

sinx

（0＜x＜π），如果a＞0，函数f（x）是否存在最大值和最小值，如果存在请写出最大（小）值及对应x值的集合；
（2）已知k＜0，求函数y=sin²x+k（cosx-1）的最小值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）f（x）=

sinx+a

sinx

=1+

a

sinx

，由0＜x＜π，得0＜sin x≤1，又a＞0，可知：当sinx=1时，f（x）取最小值1+a；此函数没有最大值．
（2）f（x）=sin²x+k（cosx-1）=1-cos²x+k（cosx-1）=-(cosx-

k

2

)2+

k2

4

-k+1．由于k＜0，可得：当 cosx=1，f（x有最小值．

解答： 解：（1）f（x）=

sinx+a

sinx

=1+

a

sinx

，由0＜x＜π，得0＜sinx≤1，
又a＞0，∴当sinx=1时，即x∈{x|x=2kπ+

π

2

，k∈Z}时，f（x）取最小值1+a；
此函数没有最大值．
（2）f（x）=sin²x+k（cosx-1）=1-cos²x+k（cosx-1）=-(cosx-

k

2

)2+

k2

4

-k+1．
∵k＜0，∴当 cosx=1，即x=2kπ（k∈Z）时，f（x）=sin²x+k（cosx-1）有最小值f（x）_min=0．

点评：本题考查了正弦函数余弦函数及二次函数的单调性、最值，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．