Question

设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a^x=b^y=3，a+b=2

3

，求

1

x

+

1

y

的最大值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：由a^x=b^y=3，求出x，y，进而可表示

1

x

+

1

y

，再利用基本不等式，即可求

1

x

+

1

y

的最大值．

解答： 解：∵a^x=b^y=3，∴x=log_a3，y=log_b3，
∴

1

x

+

1

y

=log₃a+log₃b=log₃ab，
∵a+b=2

3

≥2

ab

，
∴ab≤3（当且仅当a=b时，取等号），
∴

1

x

+

1

y

≤log₃3=1，
即

1

x

+

1

y

的最大值为1．

点评：本题考查基本不等式的运用，考查对数运算，考查学生分析转化问题的能力，正确表示

1

x

+

1

y

是关键．