Question

已知不等式

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

＞a对于一切大于1的自然数n都成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：综合题,推理和证明

分析：先设f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

，利用单调性的定义证得f（n）是关于n（n∈N，n≥2）的递增数列，从而f（n）≥f（2）从而可求a的取值范围．

解答： 解：设f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

，则f（n+1）=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2(n+1)

，
则f（n+1）-f（n）=

1

2n+1

+

1

2(n+1)

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2n+2

＞0，
所以数列f（n）是关于n（n∈N，n≥2）的递增数列，
所以f（n）≥f（2）=

7

12

，
所以要使不等式

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

＞a对一切大于1的自然数n都成立，所以a＜

7

12

．

点评：本小题主要考查数列单调性的应用、不等式的证明、进行简单的演绎推理、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．