Question

高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以

1

2

的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下．
（1）若进行一次高尔顿板试验，这个小球掉入2号球槽的概率；
（2）某高三同学在研究了高尔顿板后，制作了一个如图所示的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动.10元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为ξ元，其中ξ=|20-5m|．高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏．试求ξ的分布列，如果你在活动现场，你通过数学期望的计算后，你觉得这位高三同学能盈利吗？

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）设这个小球掉入2号球槽为事件A．掉入2号球槽，需要向右1次向左5次，由此能求出这个小球掉入2号球槽的概率．
（2）ξ的可能取值为0，5，10，15．由此能求出ξ的分布列和Eξ，从而能求出这位高三同学能盈利．

解答： 解：（1）设这个小球掉入2号球槽为事件A．
掉入2号球槽，需要向右1次向左5次，
所以P（A）=

C

1 6

(

1

2

)(

1

2

)5=

3

32

．
所以这个小球掉入2号球槽的概率为

3

32

．…（5分）
（2）ξ的可能取值为0，5，10，15．
P（ξ=0）=P（m=4）=

C

3 6

(

1

2

)3(

1

2

)3=

5

16

，
P（ξ=5）=P（m=3）+P（m=5）

C

2 6

(

1

2

)2(

1

2

)4+

C

4 6

(

1

2

)4(

1

2

)2=

15

32

，
P（ξ=10）=P（m=2）+P（m=6）=

C

1 6

(

1

2

)(

1

2

)5+

C

5 6

(

1

2

)5(

1

2

)=

3

16

，
P（ξ=15）=P（m=1）+P（m=7）=

C

0 6

(

1

2

)6+

C

6 6

(

1

2

)6=

1

32

．

ξ	0	5	10	15
P	5 16	15 32	3 16	1 32

Eξ=0×

5

16

+5×

15

32

+10×

3

16

+15×

1

32

=

75

16

＜10．
∴这位高三同学能盈利．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．