Question

14．已知F₁、F₂为椭圆C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}$=1的左、右焦点，点P在椭圆上，∠F₁PF₂=90°，则|PF₁|•|PF₂|等于（　　）

• A． 4
• B． 8
• C． 9
• D． 18

Answer 1

分析 根据椭圆的定义及椭圆标准方程求得到|PF₁|+|PF₂|=2a=6，由∠F₁PF₂=90°可得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=（2c）²=20，两边平方即可求得|PF₁||PF₂|．

解答 解：∵椭圆方程：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}$=1，
∴a²=9，b²=4，可得c²=a²-b²=5，即a=3，c=$\sqrt{5}$，
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
∵∠F₁PF₂=90°，可得PF₁⊥PF₂，
则有$\left\{\begin{array}{l}{m+n=2a}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=（2c）^{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m+n=6}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=20}\end{array}\right.$，
∴36=20+2mn
得2mn=16，即mn=8，
∴|PF₁|•|PF₂|=8．
故选B．

点评 本题考查椭圆的焦点三角形为直角三角形的性质，考查了勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等应用，属于中档题．