Question

在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且sin²A+

1

2

sinBsinC=sin²B+sin²C．
（1）求sin²

B+C

2

+cos 2A的值；
（2）若a=4，b+c=6，且b＜c，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理得到关系式，利用余弦定理表示出cosA，把得出关系式代入求出cosA的值，原式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后把cosA的值代入计算即可求出值；
（2）由余弦定理列出关系式，把a，cosA的值代入并利用完全平方公式变形，把b+c的值代入求出bc的值，再由cosA的值求出sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解　（1）由已知sin²A+

1

2

sinBsinC=sin²B+sin²C，利用正弦定理化简得：a²+

1

2

bc=b²+c²，即b²+c²-a²=

1

2

bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

4

，
则sin²

B+C

2

+cos2A=

1

2

[1-cos（B+C）]+（2cos²A-1）=

1

2

（1+cosA）+（2cos²A-1）=-

1

4

；
（2）由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA，即a²=（b+c）²-2bc-2bccosA，
整理得：16=36-

5

2

bc，即bc=8，
由b+c=6，bc=8，且b＜c，得到b=2，c=4，
由cosA=

1

4

，得到sinA=

15

4

，
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

15

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．