Question

【题目】如图☆的曲线，其生成方法是（I）将正三角形（图（1））的每边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图（2）；(II)将图（2）的每边三等分，重复上述的作图方法，得到图（3）；(III)再按上述方法继续做下去，所得到的曲线称为雪花曲线(Koch　Snowflake)，

（1）（2）（3）.

设图（1）的等边三角形的边长为1，并且分别将图（1）、（2）、（3）…中的图形依次记作M1、M2、M3、……

（1）设中的边数为中每条边的长度为，写出数列和的递推公式与通项公式；

（2）设的周长为，所围成的面积为，求数列{}与{}的通项公式；请问周长与面积的极限是否存在？若存在，求出该极限，若不存在，简单说明理由.

Answer 1

【答案】（1）且，；，； （2）；；周长的极限不存在，面积的极限为.

【解析】

（1）根据题意，结合图形的变换，分别得出数列和的递推关系式，结合等比数列的通项公式，即可求解；

（2）根据图象的变换规律，得出数列和的递推关系式，结合叠加法和数列的极限，即可求解.

（1）由题意，可得数列的递推关系式为且，

所以数列构成首项为，公比为4的等比数列，

所以其通项公式为，

又由每个图形的边长都相等，且长度变为原来的，

所以边长满足递推关系式，

即数列构成首项为1，公比为的等比数列，

所以数列的图通项公式为

（2）观察发现，第二个图形在第一个图形的周长的基础上多了它的周长的，第三个图形在第二个的周长的基础上，多了周长的，第四个图形在第三个的周长的基础上，多了周长的，依次类推，

可得周长满足递推关系式且，

所以数列构成首项为3，公比为的等比数列，

所以数列的通项公式为，

由第一个三角形的面积，

当时，，

则

.

又由极限的运算法则，可得，所以周长的极限不存在；

，即面积的极限为.