Question

已知F₁，F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，半焦距为c，直线x=-

a2

c

与x轴的交点为N，满足

F1F2

=2

NF1

，|

F1F2

|=2，设A、B是上半椭圆上满足

NA

=λ

NB

的两点，其中λ∈[

1

5

，

1

3

]．
（1）求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围；
（2）过A、B两点分别作椭圆的切线，两切线相交于一点P，试问：点P是否恒在某定直线上运动，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）依据题意联立方程求得a，b，则拖得方程可得．根据

NA

=λ

NB

判断出A，B，N三点共线，进而设出直线AB的方程，与椭圆的方程联立消去x，根据判别式大于0求得k的范围，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则根据韦达定理，可表示出y₁+y₂和y₁y₂，利用

NA

=λ

NB

求得（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂），联立方程组消去y₂，求得λ和k的关系，令φ(λ)=

(1+λ)2

λ

进而进行求导，推断函数的单调性，根据λ的范围求得k的范围．
（2）设出P的坐标，进而求得PA的方程，把点A代入，同时代入椭圆的方程，推断出直线AB的方程，根据其过定点求得x₀，进而推断出点P恒在直线x=-1上运动．

解答：解：（1）由于

F1F2

=2

NF1

，|

F1F2

|=2，
∴

2c= F1F2 |=2 a2 c -1= NF1 |=1 a2=b2+c2.

解得a²=2，b²=1，从而所求椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．
∵

NA

=λ

NB

，∴A，B，N三点共线，而点N的坐标为（-2，0）．
设直线AB的方程为y=k（x+2），其中k为直线AB的斜率，依条件知k≠0．
由

y=k(x+2) x2 2 +y2=1

消去x得(

1

k

y-2)2+2y2=2，即

2k2+1

k2

y2-

4

k

y+2=0．
根据条件可知

△=( 4 k )2-8• 2k2+1 k2 ＞0 k≠0.

解得0＜|k|＜

2

2

，依题意取0＜k＜

2

2

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则根据韦达定理，得y1+y2=

4k

2k2+1

，y1y2=

2k2

2k2+1

，
又由

NA

=λ

NB

，得（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂）
，∴

x1+2=λ(x2+2) y1=λy2.

从而

x1+2=λ(x2+2) y1=λy2.

从而

(1+λ)y2= 4k 2k2+1 λ y 2 2 = 2k2 2k2+1 .

消去y₂得

(1+λ)2

λ

=

8

2k2+1

．
令φ(λ)=

(1+λ)2

λ

，λ∈[

1

5

，

1

3

]，则φ′(λ)=(λ+

1

λ

+2)′=1-

1

λ2

=

λ2-1

λ2

．
由于

1

5

≤λ≤

1

3

，所以φ'（λ）＜0．
∴φ（λ）是区间[

1

5

，

1

3

]上的减函数，从而φ(

1

3

)≤φ(λ)≤φ(

1

5

)，
即

16

3

≤φ(λ)≤

36

5

，∴

16

3

≤

8

2k2+1

≤

36

5

，解得

2

6

≤|k|≤

1

2

，而0＜k＜

2

2

，∴

2

6

≤k≤

1

2

．
故直线AB的斜率的取值范围是[

2

6

，

1

2

]．
（2）设点P的坐标为（x₀，y₀），则可得切线PA的方程是y-y0=-

x1

2y1

(x-x0)，
而点A（x₁，y₁）在此切线上，有y1-y0=-

x1

2y1

(x1-x0)即x₀x₁+2y₀y₁=x₁²+2y₁²，
又∵A在椭圆上，∴有x₀x₁+2y₀y=2，①同理可得x₀x₂+2y₀y₂=2．②
根据①和②可知直线AB的方程为，x₀x+2y₀y=2，而直线AB过定点N（-2，0），∴-2x₀=2?x₀=-1，
因此，点P恒在直线x=-1上运动．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大，故此类问题能有效地考查考生分析问题、解决问题的能力，平时应作为重点来复习训练．