Question

如图，在所有棱长都相等的正三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列四个结论不成立的是（　　）

• A、BC∥平面PDF
• B、平面PDF⊥平面ABC
• C、平面PAE⊥平面ABC
• D、平面PDF⊥平面PAE

Answer 1

考点：平面与平面之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：A．利用三角形的中位线定理可得BC∥DF，再利用线面平行的判定定理可得BC∥平面PDF，故A正确；
C．D．由等腰三角形的性质可得BC⊥AE，BC⊥PE，利用线面垂直的判定定理得BC⊥平面PAE，进而得到DF⊥平面PAE，再利用面面垂直的性质定理得平面PAE⊥平面ABC，
平面PDF⊥平面PAE故C、D都正确．利用排除法可得，B不正确．

解答： 解：A．∵D、F分别是AB、CA的中点，由三角形的中位线定理可得：BC∥DF，
∵BC?平面PDF，DF?平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A正确；
C，D．∵AC=AB，BE=EC，∴BC⊥AE．
同理BC⊥PE，
∵PE∩AE=E，∴BC⊥平面PAE，
∵BC∥DF，∴DF⊥平面PAE，
∵DF?平面ABC，
∴平面PAE⊥平面ABC，平面PDF⊥平面PAE，
故C、D都正确．
排除A，C，D，故B不正确．
故选B．

点评：熟练掌握等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、线面与面面垂直的判定和性质定理即可得出．