Question

13．已知数列{a_n}的前n项和${S_n}={n^2}+2n$，正项等比数列{b_n}满足：b₁=a₁-1，且b₄=2b₂+b₃．
（I）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）若数列{c_n}满足：${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$，其前n项和为T_n，证明：$\frac{3}{2}≤{T_n}＜5$．

Answer 1

分析 （I）利用数列递推关系可得a_n，利用等比数列的通项公式即可得出b_n．
（II）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式可得T_n，再利用数列的单调性即可证明．

解答 （I）解：∵${S_n}={n^2}+2n$，当$n≥2，{S_{n-1}}={（n-1）^2}+2（n-1）$，
则 a_n=S_n-S_n-1=2n+1，当n=1时，a₁=3，适合上式，∴a_n=2n+1．
设正项等比数列{b_n}的公比为q（q＞0），
∵b₄=2b₂+b₃，∴${b_2}{q^2}=2{b_2}+{b_2}q$，q²-q-2=0，
∴q=2，q=-1（舍去）b₁=a₁-1=3-1=2，∴${b_n}=2•{2^{n-1}}={2^n}$．
（Ⅱ）证明：∵${c_n}=\frac{a_n}{b_n}=\frac{2n+1}{2^n}$${T_n}=3•\frac{1}{2}+5•\frac{1}{2^2}+7•\frac{1}{2^3}+…+（2n+1）•\frac{1}{2^n}$，
$\frac{1}{2}{T_n}=3•\frac{1}{2^2}+5•\frac{1}{2^3}+…+（2n-1）•\frac{1}{2^n}+（2n+1）•\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$，
两式相减得${T_n}=5-\frac{2}{{{2^{n-1}}}}-\frac{2n+1}{2^n}=5-\frac{2n+5}{2^n}$，
∵$\frac{2n+5}{2^n}＞0$，∴${T_n}=5-\frac{2n+5}{2^n}＜5$，
又∵${T_{n+1}}-{T_n}=5-\frac{2n+7}{{{2^{n+1}}}}-5+\frac{2n+5}{2^n}=\frac{2n+3}{{{2^{n+1}}}}＞0$，∴T_n+1＞T_n，
∴T_n是一个增函数，∴${T_n}≥{T_1}=\frac{3}{2}$，
综上  $\frac{3}{2}≤{T_n}＜5$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．