Question

5．平面内有向量$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}$=（5，1），$\overrightarrow{OP}$=（2，1），点C为直线OP上的一动点．
（1）当$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$取最小值时，求$\overrightarrow{OC}$的坐标；
（2）当点C满足（1）的条件和结论时，求cos∠ACB的值．
（3）在满足（2）的条件下，设f（t）=t²+4t+m≥cos∠ACB在t∈[-4，4]时恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件可设$\overrightarrow{OC}=（2k，k）$，而$\overrightarrow{CA}=（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}），\overrightarrow{CB}=（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}）$，从而表示出向量$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$的坐标，进而求得$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=5{k}^{2}-20k+12$，这样便可得出k=2时$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$取最小值，从而得到$\overrightarrow{OC}=（4，2）$；
（2）根据（1）得到的$\overrightarrow{OC}$坐标容易求得$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$的坐标，根据向量夹角余弦公式即可求得$cos∠ACB=-\frac{4\sqrt{17}}{17}$；
（3）由条件便可得到不等式${t}^{2}+4t+m+\frac{4\sqrt{17}}{17}≥0$在t∈[-4，4]上恒成立，这样△≤0，从而得出m的取值范围．

解答 解：（1）根据条件，$\overrightarrow{OC}=k\overrightarrow{OP}=（2k，k）$；
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=$（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}）•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}）$
=（1-2k，7-k）•（5-2k，1-k）
=（1-2k）（5-2k）+（7-k）（1-k）
=5k²-20k+12
=5（k-2）²-8；
∴k=2时，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$取最小值，此时$\overrightarrow{OC}=（4，2）$；
（2）$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=（-3，5）$，$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=（1，-1）$；
∴$cos∠ACB=\frac{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|}$=$\frac{-8}{\sqrt{34}\sqrt{2}}=-\frac{4\sqrt{17}}{17}$；
（3）根据条件，不等式${t}^{2}+4t+m+\frac{4\sqrt{17}}{17}≥0$在t∈[-4，4]上恒成立；
∴$△=16-4（m+\frac{4\sqrt{17}}{17}）≤0$；
解得$m≥4-\frac{4\sqrt{17}}{17}$；
∴实数m的取值范围为[$4-\frac{4\sqrt{17}}{17}$，+∞）．

点评 考查共线向量基本定理，向量坐标的减法运算及数乘运算、数量积的运算，以及向量减法的几何意义，配方法求二次函数最值的方法，向量夹角的余弦公式．