Question

12．如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁=2AB，E是BC中点，F是CD中点，
G是BB₁上一个动点．
（Ⅰ）BG的长为多少时，D₁E⊥平面AFG？说明理由；
（Ⅱ）当D₁E⊥平面AFG时，求二面角G-AF-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设正四棱柱底面边长为2，求出侧棱长，分别以DA、DC、DD₁方向为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，设G（2，2，m），利用$\overrightarrow{{D_1}E}•\overrightarrow{AG}=0$且$\overrightarrow{{D_1}E}•\overrightarrow{FG}=0$，求出m值，即可得到结果．
（Ⅱ）求出面AFG的一个法向量，面AFE的一个法向量，利用空间向量的数量积求解G-AF-E的二面角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）设正四棱柱底面边长为2，则侧棱长为4…1’
分别以DA、DC、DD₁方向为x、y、z轴
建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
E（1，2，0），F（0，1，0），D₁（0，0，4），
设G（2，2，m）…3’
则$\overrightarrow{{D_1}E}=（1，2，-4）$，$\overrightarrow{AG}=（0，2，m）$，$\overrightarrow{FG}=（2，1，m）$，
当$\overrightarrow{{D_1}E}⊥\overrightarrow{AG}$且$\overrightarrow{{D_1}E}⊥\overrightarrow{FG}$时，D₁E⊥平面AFG，
此时$\overrightarrow{{D_1}E}•\overrightarrow{AG}=0$且$\overrightarrow{{D_1}E}•\overrightarrow{FG}=0$，
即$\left\{\begin{array}{l}1×0+2×2-4m=0\\ 1×2+2×1-4m=0\end{array}\right.⇒m=1$，
∴BG=1时满足题意…6’．
（Ⅱ）依题意，$\overrightarrow{{D_1}E}=（1，2，-4）$就是面AFG的一个法向量，…7’
而面AFE的一个法向量是$\overrightarrow{D{D_1}}=（0，0，4）$，…8’
∴$cos＜\overrightarrow{{D_1}E}，\overrightarrow{D{D_1}}＞=\frac{{\overrightarrow{{D_1}E}•\overrightarrow{D{D_1}}}}{{|{\overrightarrow{{D_1}E}}|•|{\overrightarrow{D{D_1}}}|}}=\frac{-16}{{\sqrt{21}•4}}=-\frac{{4\sqrt{21}}}{21}$，…10’
∵G-AF-E是锐二面角，记其大小为θ，则$cosθ=\frac{{4\sqrt{21}}}{21}$…12’．

点评 本题考查空间向量的应用，直线与平面垂直，二面角的求法，数量积的应用，考查计算能力．