Question

20．如图（1）是正方体木块截去一个三棱柱后得到的几何体，图（2）是该几何体的侧视图．点P是A′F和D′E的交点

（1）求直线AP与平面A′D′FE所成角的正弦值．
（2）经过BC及点P锯开该几何体，该怎样画线？并求出锯截面的面积．

Answer 1

分析 （1）由侧视图得正方体的棱长为4．可得四边形EFD′A′是平行四边形，点P是对角线的中点．如图以D 为原点建立空间直角坐标系D-xyz，设平面A′D′FE的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，可得$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}^{′}{D}^{′}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}^{′}E}=0}\end{array}\right.$，记直线AP与平面A′D′FE所成角为θ，利用sinθ=$|cos＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出．
（2）经过点P在平行四边形A′D′FE内作EF的平行线分别交A′E和D′F于G，H，连接BG和CH，则点G，H分别为A′E和D′F的中点，可得截面BCHG为矩形，即可得出．

解答 解：（1）由侧视图得正方体的棱长为4．
EF∥A′D′∥BC，且EF=A′D′=4，BF∥AA′，且BE=$\frac{1}{2}$AA′=2，
∴四边形EFD′A′是平行四边形，点P是对角线的中点，
如图以D 为原点建立空间直角坐标系D-xyz，则有A（4，0，0），A′（4，0，4），D′（0，0，4），
E（4，4，2），P（2，2，3）．
得$\overrightarrow{AP}=（-2，2，3），\overrightarrow{{A^'}D'}=（-4，0，0），\overrightarrow{{A^'}E}=（0，4，-2）$
设平面A′D′FE的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}^{′}{D}^{′}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}^{′}E}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-4x=0}\\{4y-2z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（0，1，2），为平面A′D′FE的一个法向量．
记直线AP与平面A′D′FE所成角为θ，则sinθ=$|cos＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{8}{\sqrt{17}×\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{85}}{85}$，
即直线AP与平面A′D′FE所成角的正弦值$\frac{{8\sqrt{85}}}{85}$．
（2）经过点P在平行四边形A′D′FE内作EF的平行线分别交A′E和D′F于G，H，
连接BG和CH，则点G，H分别为A′E和D′F的中点，
∴GH∥EF∥BC，且GH=EF=BC，
点$G（4，2，3），\overrightarrow{GB}=（0，-2，3），\overrightarrow{BC}=（-4，0，0），\overrightarrow{GB•}\overrightarrow{BC}=0，GB⊥BC$，
∴截面GHBC为矩形，且GB=$\sqrt{13}$，
∴矩形面积S=GH•BC=4$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了空间位置关系与空间角、线面平行与垂直的判定性质定理、法向量的应用、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．