Question

7．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量$\overrightarrow{m}$=（a+b+c，3c），$\overrightarrow{n}$=（b，c+b-a）平行．
（1）求A；
（2）若a=$\sqrt{3}$，b=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知利用平面向量共线（平行）的坐标表示可得（a+b+c）（c+b-a）=3bc，进而利用余弦定理可求cosA的值，结合A的范围即可得解A的值．
（2）由已知及（1）得：1+c²-3=c，进而解得c，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（a+b+c，3c），$\overrightarrow{n}$=（b，c+b-a）平行，
∴（a+b+c）（c+b-a）=3bc，即b²+c²-a²=bc．…（3分）
在△ABC中，由余弦定理得：$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{bc}{2bc}=\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）有（1）得：1+c²-3=c，整理可得：c²-c-2=0，
∴c=2，…（9分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×1×2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．