Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、H分别是棱A₁B₁，D₁C₁上的点（点E与B₁不重合），且EH∥A₁D₁，过EH的平面与棱BB₁，CC₁相交，交点分别为F，G
（Ⅰ）证明：AD∥平面EFGH
（Ⅱ）设AB=2AA₁=2a，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内随机选取一点，记该点取自于几何体A₁ABFE-D₁DCGH内的概率为p，当点E、F分别在棱A₁B₁，B₁B上运动且满足EF=a时，求p的最小值．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,几何概型

专题：综合题,空间位置关系与距离,概率与统计

分析：（Ⅰ）证明AD∥平面EFGH，只需证明AD∥EH；
（Ⅱ）根据几何槪型的概率公式，结合基本不等式求出取自于几何体A₁ABFE-D₁DCGH内的概率为p的最小值，即可求出概率．

解答： （Ⅰ）证明：∵AD∥A₁D₁，EH∥A₁D₁，
∴AD∥EH，
∵AD?平面EFGH，EH?平面EFGH
∴AD∥平面EFGH；
（Ⅱ）解：根据几何槪型的概率公式可知，点取自于几何体A₁ABFE-D₁DCGH内的概率为P=

VA1ABFE-D1DCGH

VABCD-A1B1C1D1

，
∴若p最小，则只需几何体A₁ABFE-D₁DCGH的体积最小，即五边形A₁ABFE的面积最小，等价为三角形EFB₁的面积最大，
∵EF=a，
∴B1E2+B1F2=a²，
则S_△B1EF=

1

2

B1E•B1F≤

1

4

（B₁E²+B₁F²）=

a2

4

，当且仅当B₁F=B₁E时取等号，
此时五边形A₁ABFE的面积最小为2a²-

a2

4

=

7a2

4

，
则取自于几何体A₁ABFE-D₁DCGH内的概率为P=

VA1ABFE-D1DCGH

VABCD-A1B1C1D1

=

7

8

．

点评：本题主要考查线面平行，考查几何槪型的概率计算，根据体积槪型结合基本不等式求出最值是解决本题的关键．