Question

根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为x₁，x₂，…，x_n，…，x₂₀₀₇；y₁，y₂，…，y_n…，y₂₀₀₇；
（1）求数列{x_n}的通项公式x_n；
（2）写出y₁，y₂，y₃，y₄，由此猜想出数列{y_n}的一个通项公式y_n，并证明你的结论．
（3）若z_n=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n，求z_n的值．

Answer 1

考点：数列的应用,程序框图

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由框图，知数列x_n中，x₁=1，x_n+1=x_n+2，由此能导出x_n．
（2）y₁=2，y₂=8，y₃=26，y₄=80．由此，猜想y_n=3ⁿ-1（n∈N^*，n≤2007），然后构造成等比数列进行证明．
（3）z_n=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n=1×（3-1）+3×（3²-1）+5×（3³-1）+…+（2n-1）×（3ⁿ-1）=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）×3ⁿ-（1+3+5++2n-1），用错位相减法进行求解．

解答： 解：（1）由框图，知数列x_n中，x₁=1，x_n+1=x_n+2，
∴x_n=1+2（n-1）=2n-1（n∈N^*，n≤2007）（4分）
（2）y₁=2，y₂=8，y₃=26，y₄=80，
由此，猜想y_n=3ⁿ-1（n∈N^*，n≤2007）．
证明：由框图，知数列y_n中，y_n+1=3y_n+2，
∴y_n+1+1=3（y_n+1）
∴数列y_n+1是以3为首项，3为公比的等比数列．
∴y_n+1=3ⁿ，
∴y_n=3ⁿ-1（n∈N^*，n≤2007）；（9分）
（3）z_n=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n=1×（3-1）+3×（3²-1）+5×（3³-1）+…+（2n-1）×（3ⁿ-1）
=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）×3ⁿ-（1+3+5++2n-1）
记S_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）×3ⁿ①
则3S_n=1×3²+3×3³+5×3⁴+…+（2n-1）×3ⁿ⁺¹②
①-②，得-2S_n=3+2×3²+2×3³+2×3⁴+…+2×3ⁿ-（2n-1）×3ⁿ⁺¹
∴S_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3，
又1+3+5+…+2n-1=n²
∴z_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3-n²（n∈N^*，n≤2007）．（14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解，注意错位相减法和构造法的灵活运用．