Question

已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（

1

2

，0）的距离减去它到y轴距离的差都是

1

2

．
（1）求曲线C的方程；
（2）P是曲线C上的动点，点B，C在y轴上，圆（x-1）²+y²=1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：

(x- 1 2 )2+y2

-x=

1

2

，x＞0，由此能求出曲线C的方程．
（2）设P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），不妨设b＞c．直线PB的方程（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0．由圆心（1，0）到PB的距离为1，得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，同理（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0．由此能求出S_△PBC的最小值为8．

解答： 解：（1）设P（x，y）是曲线C上任意一点，
那么点P（x，y）满足：

(x- 1 2 )2+y2

-x=

1

2

，x＞0，化简得y²=2x，x＞0．
∴曲线C的方程是y²=2x，x＞0．…（5分）
（2）设P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），不妨设b＞c．
直线PB的方程：y-b=

y0-b

x0

x，
化简得 （y₀-b）x-x₀y+x₀b=0．
又圆心（1，0）到PB的距离为1，

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，
故(y0-b)2+x02=(y0-b)2+2x0b(y0-b)+x02b2，
由题意知x₀＞2，上式化简得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，
同理有（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0．
∴b+c=

-2y0

x0-2

，bc=

-x0

x0-2

，则（b-c）²=

4x02+4y02-8x0

(x0-2)2

．
∵P（x₀，y₀）是抛物线上的点，有y02=2x0，
则（b-c）²=

4x02

(x0-2)2

，b-c=

2x0

x0-2

．
∴S△PBC=

1

2

(b-c)•x0
=

x0

x0-2

•x0
=（x₀-2）+

4

x0-2

+4≥2

4

+4=8．…（11分）
当（x₀-2）²=4时，上式取等号，此时x0=4，y0=±2

2

．
因此S_△PBC的最小值为8． …（13分）

点评：本题考查曲线方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．