Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若且，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）求出函数的定义域和导数，对实数进行分类讨论，分析导数在上的符号变化，进而可得出函数在其定义域上的单调区间；

（2）由题意得不等式对任意的恒成立，构造函数，可得出，利用导数分析函数在区间上的单调性，求得函数的最大值，然后解不等式即可得出实数的取值范围.

（1）函数的定义域是.

.

①当，即时，，此时，函数在上单调递增；

②当，即时，

（i）若，则.

令，得；令，得，

此时，函数在上单调递增，在上单调递减；

（ii）若，则，则，则.

则对任意恒成立，此时，函数在上单调递减.

综上所述，当时，函数在上单调递减；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减；

当时，函数在上单调递增；

（2）等价于，即.

令，则.

，

①当时，对任意的恒成立，符合题意；

②当时，令，得或（负根舍去），

令，得；令，得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

故，

因为，所以，令，则函数单调递增.

又，故由得，得.

综上，实数的取值范围为.