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:如图,四边形ABCD是正方形,PB^平面ABCDMAPBPBAB=2MA
(Ⅰ)证明:AC∥平面PMD
(Ⅱ)求直线BD与平面PCD所成的角的大小;
(Ⅲ)求平面PMD与平面ABCD所成的二面角(锐角)的正切值.
:略
:(Ⅰ)证明:如图,取PD的中点E,连EOEM
EOPBEOPBMAPBMAPB,∴EOMA,且EOMA
∴四边形MAOE是平行四边形.∴MEAC
又∵AC(/平面PMDMEÌ平面PMD, ∴AC∥平面PMD.                …………3分
(Ⅱ)如图,PB^平面ABCDCDÌ平面ABCD,∴CD^PB
又∵CD^BC,∴CD^平面PBC. ∵CDÌ平面PCD,∴平面PBC^平面PCD
BBF^PCF,则BF^平面PDC,连DF,则DFBD在平面PCD上的射影.
∴ÐBDF是直线BD与平面PDC所成的角.
不妨设AB=2,则在Rt△PBC中,PBBC=2,BF^PC,∴BFPC=.
BD=2.∴在Rt△BFD中,BFBD,∴ÐBDF=.
∴直线BD与平面PCD所成的角是.                               ………………5分
(Ⅲ)解:如图,分别延长PMBA,设PMBAG,连DG
则平面PMD∩平面ABCDDG
不妨设AB=2,∵MAPBPB=2MA,∴GAAB=2.
AAN^DGN,连MN. ∵PB^平面ABCD
MA^平面ABCD,∴MN^DG.∴ÐMNA是平面PMD与平面ABCD
所成的二面角的平面角(锐角).在Rt△MAN中,
tanÐMNA==.
∴平面PMD与平面ABCD所成的二面角的正切值是
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