Question

已知向量

a

=（1，m），

b

=（cosx，sinx），函数f（x）=

a

•

b

-2．
（1）设m=1，x为某三角形的内角，求f（x）=-1时x的值；
（2）设m=

3

，当函数f（x）取最大值时，求cos2x的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用两个向量的数量积公式求得当m=1时，f（x）的解析式，再由f（x）=-1时，求得sin（x+

π

4

）=

2

2

，结合x为三角形的内角，求得x的值．
（2）当m=

3

时，f（x）=2sin（x+

π

6

）-2，根据函数f（x）取得最大值为0，可得此时x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的值，从而求得cos2x的值．

解答： 解：（1）由题可知，函数f（x）=

a

•

b

-2=msinx+cosx-2，
当m=1时，f（x）=sinx+cosx-2=

2

sin（x+

π

4

）-2，
∴当f（x）=-1时，sin（x+

π

4

）=

2

2

，
∵x为三角形的内角，
∴x+

π

4

=

3π

4

，
∴x=

π

2

．
（2）当m=

3

时，f（x）=

3

sinx+cosx-2=2sin（x+

π

6

）-2，
当且仅当 sin（x+

π

6

）=1时，函数f（x）取得最大值为0．
此时，x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z，
∴x=2kπ+

π

3

，k∈z，
cos2x=cos[2（2kπ+

π

3

）]=cos

2π

3

=-

1

2

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．