Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=AD=1，点E、F、G分别是各自所在棱的中点．
（1）在棱A₁D₁所在的直线上是否存在一点P，使得PE与平面B₁FG平行？若存在，确定点P的位置，并证明；否则说明理由．
（2）求点B₁到平面EFG的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）点P在D₁A₁的延长线上，满足A₁P=

1

4

，利用向量法进行证明．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B₁到平面EFG的距离为1．

解答： 解：（1）点P在D₁A₁的延长线上，满足A₁P=

1

4

，
使得PE与平面B₁FG平行．
证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵AB=2，AA₁=AD=1，
点E、F、G分别是各自所在棱的中点，A₁P=

1

4

，
∴P（

5

4

，0，1），E（1，0，

1

2

），B₁（1，2，1），
F（0，1，1），G（

1

2

，2，0），
∴

PE

=（-

1

4

，0，-

1

2

），

FB1

=（1，1，0），

FG

=（

1

2

，1，-1），
设平面B₁FG的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • FB1 =x+y=0 n • FG = 1 2 x+y-z=0

，取x=1得

n

=（1，-1，-

1

2

），
∵

PE

•

n

=-

1

4

+0+

1

4

=0，∴

PE

⊥

n

，
∵PE不包含于平面B₁FG，∴PE∥B₁FG．
（2）设平面EFG的法向量

n

=（x，y，z），
∵

EF

=（-1，1，

1

2

），

EG

=（-

1

2

，2，-

1

2

），
∴

n • EF =-x+y+ 1 2 z=0 n • EG =- 1 2 x+2y- 1 2 z=0

，取x=2，得y=1，z=2，∴

n

=(2，1，2)，
∵

EB1

=（0，2，

1

2

），
∴点B₁到平面EFG的距离d=

| n • EB1 |

| n |

=

|0+2+1|

3

=1．

点评：本题考查满足条件的点的确定，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．