Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱SA⊥底面ABCD，过A作AE垂直SB交SB于E点，作AH垂直SD交SD于H点，平面AEH交SC于K点，且AB=1，SA=2．
（1）设点P是SA上任一点，试求PB+PH的最小值；
（2）求证：E、H在以AK为直径的圆上；
（3）求平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）将侧面SAB绕侧棱SA旋转到与侧面SAD在同一平面内，当B、P、H三点共线时，PB+PH取最小值，这时，PB+PH的最小值即线段BH的长，由此能求出结果．
（2）由已知条件推导出EA⊥BC，从而得到AE⊥平面SBC，EA⊥EK，同理推导出AH⊥KH，由此证明E、H在以AK为直径的圆上．
（3）以A为原点，分别以AB、AD、AS所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．

解答： （1）解：将侧面SAB绕侧棱SA旋转到与侧面SAD在同一平面内，如图示，
则当B、P、H三点共线时，PB+PH取最小值，
这时，PB+PH的最小值即线段BH的长，（1分）
设∠HAD=α，则∠BAH=π-α，
在Rt△AHD中，∵AH=

SA•AD

SD

=

2

5

，
∴cosα=

AH

AD

=

2

5

，（2分）
在三角形BAH中，由余弦定理得：
BH²=AB²+AH²-2AB•AH•cos（π-α）
=1+

4

5

-2×

2

5

×(-

2

5

)=

17

5

，
∴（PB+PH）_min=BH=

85

5

．（4分）
（2）证明：∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥BC，又AB⊥BC，
∴BC⊥平面SAB，又EA?平面SAB，∴EA⊥BC，（6分）
又∵AE⊥SB，∴AE⊥平面SBC，（7分）
又EK?平面SBC，∴EA⊥EK，（8分）
同理 AH⊥KH，∴E、H在以AK为直径的圆上．（9分）
（3）解：如图，以A为原点，
分别以AB、AD、AS所在的直线为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系如图示，（10分）
则S（0，0，2），C（1，1，0），
由（1）可得AE⊥SC，AH⊥SC，∴SC⊥平面AEKH，

SC

=（1，1，-2）为平面AEKH的一个法向量，（11分）

AS

=（0，0，2）为平面ABCDF的一个法向量，（12分）
设平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

AS

，

SC

＞|=|

-4

2 6

|=

6

3

，（13分）
∴平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值

6

3

．（14分）

点评：本题考查线段和的最小值的求法，考查两点共圆的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．