Question

如图，△ABC为圆的内接三角形，AB=AC，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．
（1）求证：四边形ACBE为平行四边形；
（2）若AE=6，BD=5，求线段CF的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：直线与圆

分析：（1）由已知条件推导出∠ABC=∠BAE，从而得到AE∥BC，再由BD∥AC，能够证明四边形ACBE为平行四边形．
（2）由已知条件利用切割线定理求出EB=4，由此能够求出CF=

8

3

．

解答： （1）证明：∵AE与圆相切于点A，∴∠BAE=∠ACB，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠BAE，
∴AE∥BC，
∵BD∥AC，∴四边形ACBE为平行四边形．
（2）解：∵AE与圆相切于点A，
∴AE²=EB•（EB+BD），即6²=EB•（EB+5），
解得EB=4，
根据（1）有AC=EB=4，BC=AE=6，
设CF=x，由BD∥AC，得

AC

BD

=

CF

BF

，
∴

4

5

=

x

6-x

，解得x=

8

3

，
∴CF=

8

3

．

点评：本题考查平行四边形的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．