Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，

DQ

=λ

DC

，

CP

=（1-λ）

CB

，则

AP

•

AQ

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：平面向量及应用

分析：通过向量的坐标运算转化为二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：如图所示，
A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，1）．

AP

=

AC

+

CP

=（1，1）+（1-λ）

CB

，λ∈[0，1]．
=（1，1）+（1-λ）（1，-1）=（2-λ，λ）．

AQ

=

AD

+

DQ

=（0，1）+λ

DC

=（0，1）+λ（1，0）=（λ，1）．
∴f（λ）=

AP

•

AQ

=（2-λ，λ）•（λ，1）=λ（2-λ）+λ
=-λ²+3λ
=-(λ-

3

2

)2+

9

4

，
∵λ∈[0，1]，∴f（0）≤f（λ）≤f（1），
∴0≤f（λ）≤2．
∴

AP

•

AQ

的取值范围是[0，2]．
故答案为：[0，2]．

点评：本题考查了向量的坐标运算、二次函数的单调性，属于基础题．