Question

已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（3+x）=f（x），f（2）=-5，数列{a_n}满足a₁=-1，且S_n=2a_n+n（其中S_n为{a_n}的前n项和），则f（a₄）+f（a₅）=

 

．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：函数的性质及应用,点列、递归数列与数学归纳法

分析：先确定f（x）是以3为周期的周期函数，再由a₁=-1，且S_n=2a_n+n，推知a₅=-31，a₆=-63，由此即可求得结论．

解答： 解：∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）且f（0）=0，
又∵f（3+x）=f（x），
∴f（x）是以3为周期的周期函数，
∴f（2）=f（-1）=-5，
∵a₁=-1，且S_n=2a_n+n，
∴a₂=-3，
∴a₃=-7，a₄=-15，
∴a₅=-31，
∴f（a₄）+f（a₅）=f（-15）+f（-31）=f（0）+f（-1）=0+f（2）=-5，
故答案为：-5．

点评：本题主要考查函数性质的转化，考查数列的通项，考查学生的计算能力，确定f（x）是以3为周期的周期函数是关键．