Question

10．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x+1}$．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若x＞0且x≠1，f（x）-$\frac{t}{x}＞\frac{lnx}{x-1}$．
（i）求实数t的最大值；
（ii）证明不等式：lnn＜$\sum_{i=1}^n{（\frac{1}{i}）}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}$（n∈N^*且n≥2）．

Answer 1

分析 （1）利用导数的几何意义求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）（i）分类讨论，利用函数的单调性，即可求实数t的最大值；
（ii）当x＞1时整理得$2lnx＜\frac{{{x^2}-1}}{x}=x-\frac{1}{x}$，令$x=\frac{k}{k-1}$，则$2ln\frac{k}{k-1}＜\frac{k}{k-1}-\frac{k-1}{k}=\frac{1}{k}+\frac{1}{k-1}$，即可证明不等式．

解答 解：（1）由题意x∈（0，+∞）且$f'（x）=\frac{{\frac{1}{x}（x+1）-lnx}}{{{{（x+1）}^2}}}=\frac{x+1-xlnx}{{x{{（x+1）}^2}}}$，∴$f'（1）=\frac{2-0}{4}=\frac{1}{2}$，
又$f（1）=\frac{0}{2}=0$，∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为$y-0=\frac{1}{2}（x-1）$，即x-2y-1=0．
（2）（i）由题意知$\frac{lnx}{x+1}-\frac{lnx}{x-1}-\frac{t}{x}＞0$，
设$g（x）=\frac{lnx}{x+1}-\frac{lnx}{x-1}-\frac{t}{x}$，则$g'（x）=\frac{（x-1）-（x+1）}{{{x^2}-1}}lnx-\frac{t}{x}$=$\frac{1}{{1-{x^2}}}[2lnx+\frac{{t（{x^2}-1）}}{x}]$，设$h（x）=2lnx+\frac{{t（{x^2}-1）}}{x}$，则$h'（x）=\frac{2}{x}+t（1+\frac{1}{x^2}）=\frac{{t{x^2}+2x+t}}{x^2}$，
当t≥0时，∵x＞0，∴h'（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，
又h（1）=0，∴x∈（0，1）时，h（x）＜0，
又$\frac{1}{{1-{x^2}}}＞0$，∴g（x）＜0不符合题意．
当t＜0时，设ϕ（x）=tx²+2x+t，
①若△=4-4t²≤0即t≤1时，ϕ（x）≤0恒成立，即h'（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，
又h（1）=0，∴x∈（0，1）时，h（x）＞0，$\frac{1}{{1-{x^2}}}＞0$，g（x）＞0，x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，$\frac{1}{{1-{x^2}}}＜0$，g（x）＞0，符合题意．
②若△=4-4t²＞0即-1＜t＜0时，ϕ（x）的对称轴$x=-\frac{1}{t}＞1$，∴ϕ（x）在$（1，-\frac{1}{t}）$上单调递增，
∴$x∈（1，-\frac{1}{t}）$时，ϕ（x）＞ϕ（1）=2+2t＞0，∴h'（x）＞0，∴h（x）在$（1，-\frac{1}{t}）$上单调递增，
∴h（x）＞h（1）=0，而$\frac{1}{{1-{x^2}}}＜0$，∴g（x）＜0，不符合题意．
综上所述t≤-1，∴t的最大值为-1．
（ii）由（i）知t=-1时，$\frac{lnx}{x+1}-\frac{lnx}{x-1}+\frac{1}{x}＞0$，
当x＞1时整理得$2lnx＜\frac{{{x^2}-1}}{x}=x-\frac{1}{x}$，令$x=\frac{k}{k-1}$，则$2ln\frac{k}{k-1}＜\frac{k}{k-1}-\frac{k-1}{k}=\frac{1}{k}+\frac{1}{k-1}$，
∴$2[ln\frac{2}{1}+ln\frac{3}{2}+…+ln\frac{n}{n-1}]＜1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-2}+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}$，
∴$2lnn＜1+2[\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}]+\frac{1}{n}$，
∴$lnn＜1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}$，即$lnn＜\sum_{i=1}^n{\frac{1}{i}}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，体现分类讨论的数学思想，属于中档题．