Question

1．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}+b}{{2}^{x}+a}$，是定义在R上的奇函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的奇偶性求出a，b的值，从而求出f（x）的解析式；（Ⅱ）将f（x）的解析式变形，求出函数f（x）的值域即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）在R上的奇函数，f（0）=0，得b=-1，
∴f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+a}$，
又∵f（-x）=-f（x），
∴$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+a}$=-$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+a}$，化简得，$\frac{{2}^{x}-1}{a{•2}^{x}+1}$=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+a}$，
∴a=1，∴f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$；
（Ⅱ）f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，求得：-1＜f（x）＜1，
∴函数值域为（-1，1）．

点评 本题考查了函数的奇偶性问题，考查求函数的值域问题，是一道基础题．