Question

16．设动点P在y轴与直线l：x=8之间的区域（含边界）上运动，且到点F（2，0）和直线l的距离之和为10，设动点P的轨迹为曲线C，过点S（2，4）作两条直线SA、SB分别交曲线C于A、B两点，斜率分别为k₁、k₂．
（1）求曲线C的方程；
（2）若k₁•k₂=1，求证：直线AB恒过定点．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），列出方程化简求解即可．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出直线的斜率，利用向量乘积为1，转化求解直线方程利用直线系求解即可．

解答 解：（1）设P（x，y），则有$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}+|8-x|=10$，（0≤x≤8），
移项平方并化简得，y²=8x，（0≤x≤8）．（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则k₁=$\frac{{y}_{1}-4}{{x}_{1}-2}$=$\frac{{y}_{1}-4}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}-2}$=$\frac{8}{{y}_{1}+4}$，同理可得k₂=$\frac{8}{{y}_{2}+4}$，（6分）
所以k₁k₂=$\frac{8}{{y}_{1}+4}$•$\frac{8}{{y}_{2}+4}$=1，即y₁y₂=48-4 （y₁+y₂）（※）
因为直线AB的方程为y-y₁=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁）=$\frac{8}{{y}_{1}+{y}_{2}}（x-{x}_{1}）$，
所以y=$\frac{8}{{y}_{1}+{y}_{2}}$x+$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
代入（※）得，y=$\frac{8}{{y}_{1}+{y}_{2}}$（x+6）-4，
故直线AB必过点（-6，-4）．（10分）

点评 本题考查轨迹方程的求法，直线系方程的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．