Question

7．若函数f（x）在定义域内存在实数x₀，使得f（x₀+1）≥f（x₀）+f（1）成立，则称x₀为函数f（x）的“可增点”．
（1）判断函数f（x）=$\frac{1}{x}$是否存在“可增点”？若存在，求出x₀的取值范围； 若不存在，说明理由；
（2）若函数f（x）=lg（${\frac{a}{{{x^2}+1}}}$）在（0，+∞）上存在“可增点”，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）假设函数 $f（x）=\frac{1}{x}$有“可增点”，则$\frac{1}{{{x_0}+1}}≥\frac{1}{x_0}+1$，⇒$\frac{{{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}+1}{{x}_{0}（{x}_{0}+1）}≤0$即x₀²（x₀+1）＜0，解出x₀即可，
（2）若$f（x）=lg（{\frac{a}{{{x^2}+1}}}）$ 在（0，+∞）上存在可增点，即有$lg\frac{a}{{{{（{{x_0}+1}）}^2}+1}}≥lg（{\frac{a}{{{x_0}^2+1}}}）+lg\frac{a}{2}$成立，即不等式$（{a-2}）{x_0}^2+2a{x_0}-2+2a≤0$在（0，+∞）上有解，记$g（x）=（{a-2}）{x_0}^2+2a{x_0}-2+2a$，分a=2，0＜a＜2，a＞2讨论即可．

解答 解：（1）假设函数 $f（x）=\frac{1}{x}$有“可增点”，则$\frac{1}{{{x_0}+1}}≥\frac{1}{x_0}+1$⇒$\frac{{{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}+1}{{x}_{0}（{x}_{0}+1）}≤0$
即x₀²（x₀+1）＜0，∴-1＜x₀＜0，
所以函数$f（x）=\frac{1}{x}$ 存在可增点，∴-1＜x₀＜0．
（2）若$f（x）=lg（{\frac{a}{{{x^2}+1}}}）$ 在（0，+∞）上存在可增点，即有$lg\frac{a}{{{{（{{x_0}+1}）}^2}+1}}≥lg（{\frac{a}{{{x_0}^2+1}}}）+lg\frac{a}{2}$成立，
即$\frac{a}{{{{（{{x_0}^2+1}）}^2}+1}}≥\frac{a}{{{x_0}^2+1}}•\frac{a}{2}$，且a＞0，
依题意不等式$（{a-2}）{x_0}^2+2a{x_0}-2+2a≤0$在（0，+∞）上有解，
记$g（x）=（{a-2}）{x_0}^2+2a{x_0}-2+2a$，
当a=2时，${x_0}≤-\frac{1}{2}$，不符合条件；
 当0＜a＜2时，a-2＜0，函数g（x）开口向下，符合条件；
 当a＞2时，函数g（x）的对称轴$x=\frac{a}{2-a}＜0$，且g（0）=2a-2＞0，所以在（0，+∞）上g（x）＞0，不符合．
综上可得0＜a＜2．

点评 本题考查了学生的分析能力及分类讨论的思想应用，同时考查了不等式及对数函数应用，属于基础题．