Question

19．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设AB终点为M，CF中点为N．

（1）请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；
（2）证明：直线MN∥面AEF；
（3）若正方体棱长为2，求三棱锥M-AEF的体积．

Answer 1

分析 （1）将正方体的平面展开图还胡成该正方体的直观图，能将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处．
（2）设P为BE中点，推导出面MNP∥面AEF，由此能证明MN∥面AEF．
（3）三棱锥M-AEF的体积V_M-AEF=V_F-AEM，由此能求出结果．

解答 解：（1）将正方体的平面展开图还胡成该正方体的直观图，
将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处，如右图：
证明：（2）设P为BE中点，连MP、NP，
∵N为CF中点，
∴NP∥EF，NP?面AEF，EF?面AEF，
∴NP∥面AEF，
又∵M为AB中点，∴MP$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AE，
∵MP?面AEF，AE?面MNP，
∴MP∥面AEF，
而MP∩NP=P，MP、NP?面MNP，
∴面MNP∥面AEF，
∵MN?面MNP，
∴MN∥面AEF．
解：（3）∵正方体棱长为2，
∴三棱锥M-AEF的体积：
V_M-AEF=V_F-AEM=$\frac{1}{3}×{S}_{△AEM}×EF$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×2=\frac{2}{3}$．

点评 本题考查正方形结构特征的应用，考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．