Question

9．在平面直角坐标系xOy中，设直线y=-x+2与圆x²+y²=r²（r＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{4}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OB}$，则r=（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 5
• C． 3
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角是θ且θ∈[0，π]，由向量的书记运算求出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，对已知的式子两边同时平方后，由数量积运算化简后可求cosθ，由二倍角的余弦公式和θ的范围求出$cos\frac{θ}{2}$，由点到直线的距离公式求出圆心O到直线的距离，由三角函数列出方程求出r的值．

解答 解：由题意可得，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=r，
设$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角是θ，且θ∈[0，π]，
则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$||$\overrightarrow{OB}$|cosθ=r²cosθ，
由题意知，$\overrightarrow{OC}=\frac{5}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{OB}$，
则${\overrightarrow{OC}}^{2}=\frac{25}{16}{\overrightarrow{OA}}^{2}+\frac{15}{8}\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+\frac{9}{16}{\overrightarrow{OB}}^{2}$，
所以${r}^{2}=\frac{25}{16}{r}^{2}+\frac{15}{8}{r}^{2}cosθ+\frac{9}{16}{r}^{2}$，
化简cosθ=$-\frac{3}{5}$，
因为cosθ=2$co{s}^{2}\frac{θ}{2}$-1，且$cos\frac{θ}{2}$＞0，所以$-\frac{3}{5}$=2$co{s}^{2}\frac{θ}{2}$-1，
解得$cos\frac{θ}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
设圆心O（0，0）到直线x+y-2=0的距离为d，
则d=$\frac{|-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，即r$cos\frac{θ}{2}$=$\sqrt{2}$，解得r=$\sqrt{10}$，
故选：D．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，二倍角的余弦公式，以及向量的数量积运算的灵活应用，考查了转化思想，化简、变形能力．